Mathematik | Schwamm drüber!

Wie man Mathematik (nicht) macht - Folge 2

Jan 11, 2023

Dreisatz beim Bäcker: https://twitter.com/NichtRomanHeld/status/1355465331217756161

Mit einem Polynom 15. Grades wird die Wanderzeit in den Schweizer Bergen ermittelt, die man auf den Hinweisschildern auf den Wanderwegen findet:

Mit dem Strahlensatz/Dreisatz die Größe von Asterix&Co. ermitteln: https://twitter.com/Asterix_Archiv/status/1560561339512553473

By MathML we can!*

Jan 10, 2023

Mit dem Fach Mathematik im Rücken bleibt es nicht aus, dass hier auch mal die ein oder andere Formel steht.

Allerdings zeigt sich, dass Bludit da etwas mager ist - ein Plugin fehlt. Also geht es auf die Suche nach einer Möglichkeit, Formeln in hübsch (plain text kann ja jeder) hier einzufügen. LaTeX wäre da meine erste Idee, allerdings müsste ich offenbar noch einiges im Hintergrund nachinstallieren, damit die Formel nicht nur als Code dargestellt wird.

Durch Probieren stelle ich fest, dass Bludit mit MathML gut kann, ohne weitere Nachbesserung. Eine Einarbeitung in MathML ist nicht notwendig (und wenn man den Code nur eines einfachen Bruches in MathML einmal gesehen hat, möchte man das auch nicht mehr. Für jedes Zeichen(!) einen eigenen Tag - really?**), dafür gibt es Online-Konverter wie z.b. diesen hier, so dass man den fertigen Code nur noch zu kopieren und im Blogartikel einzufügen braucht.

*) Anspielung:

As everyone knows, Noah built an arc. Here is some additional information about what happened when the animals were getting off... Now, the world was pretty well empty of land creatures, so Noah gave all of the animals instructions as they departed.
To the Aardvarks, he commanded, "Go forth and multiply!"
A couple snakes came slithering out, and he commanded, "Go forth and multiply!"
"We can't, we're adders." replied the snakes.
Well Noah kept giving commands, until at last he told the zebras, "Go forth and multiply!"
A while later he was walking around and stepped over a fallen tree. There were those snakes, well, er... multiplying.
"I thought you said you couldn't multiply?" asked Noah.
"By LOGS we can!" replied the adders.

**) Ein Vergleich:
LaTeX:

$$\frac{x-x1}{x2-x1}=\frac{y-y1}{y2-y1}$$

MathML:

<math display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>x</mi>
        <mo>−</mo>
        <mi>x</mi>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>x</mi>
        <mn>2</mn>
        <mo>−</mo>
        <mi>x</mi>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>y</mi>
        <mo>−</mo>
        <mi>y</mi>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>y</mi>
        <mn>2</mn>
        <mo>−</mo>
        <mi>y</mi>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

Geradengleichungen, ukrainisch

Jan 10, 2023

Das übliche Rechenverfahren, um eine Geradengleichung der Form $y = m \cdot x + b$ durch zwei Punkte zu bestimmen, ist, zuerst die Steigung über den Differenzenquotienten $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ zu berechnen und anschließend den y-Achsenabschnitt b zu ermitteln.

Heute habe ich von einem ukrainischen Schüler die folgende Möglichkeit gesehen:

$\frac{x - x 1}{x 2 - x 1} = \frac{y - y 1}{y 2 - y 1}$

Anschließend wird mit beiden Nennern erweitert, ausmultipliziert und nach y umgeformt. Durch ihre Symmetrie finde ich die Formel ganz hübsch und werde sie mir für später merken.

Lagebeziehung zweier Geraden

Jan 07, 2023

Eine Standardsituation im Mathematikunterricht der Oberstufe ist, die Lagebeziehung von zwei Geraden zu untersuchen.

Eine Vielzahl von Mathebüchern und Webseiten geht dabei nach demselben Schema vor: Man prüft zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Sind sie es, können die Geraden (echt) parallel oder identisch sein; sind sie es nicht, dann können die Geraden sich schneiden oder windschief zueinander liegen. Im zweiten Schritt überprüft man durch Gleichsetzen der Geradengleichungen, ob es Schnittpunkte gibt. So trifft man eindeutig eine Entscheidung zwischen (echt) parallel [kein Schnittpunkt] und identisch [mind. ein Schnittpunkt] bzw. zwischen schneidend [selbsterklärend] oder windschief [kein Schnittpunkt]. Der entsprechende Entscheidungsbaum ist zweistufig, mit jeweils zwei Pfaden in jeder Stufe. Um die Lagebeziehung zu prüfen, sind in jedem Fall zwei Arbeitsschritte erforderlich: Die Vielfachheit prüfen und die Anzahl der Schnittpunkte prüfen.

Was passiert, wenn man den Entscheidungsbaum umdreht, wenn man also zuerst die Anzahl der Schnittpunkte ermittelt?

Gibt es genau eine Lösung des Gleichungssystems, kann man sofort die Rechnung beenden, denn dann schneiden sich die Geraden bereits in genau einem Punkt. Auch wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, ist man schon fertig, denn dann schneiden sich die Geraden unendlich oft, sie sind also identisch. In dem Fall, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, ist die Prüfung jedoch noch nicht beendet, denn die beiden Geraden könnten (echt) parallel oder windschief verlaufen. Hier kommt die andere Stufe ins Spiel, das Überprüfen der Vielfachheit der beiden Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, dann sind die Geraden (echt) parallel; sind sie keine Vielfachen voneinander, dann sind die Geraden windschief zueinander.

In der umgekehrten Reihenfolge hat man sich in zwei von vier Fällen einen Rechenschritt gespart. Sicherlich gibt es gute Gründe, den ersten Weg zu nehmen, weil der Rechenweg immer gleich abläuft, wohingegen im zweiten Rechenweg schnell der zweite Schritt vergessen werden kann. Dennoch kann gerade der zweite Rechenweg einem viel Zeit und Schreibarbeit ersparen.