Schwamm drüber!

In meinen Klassenarbeiten zu Konstruktionen in der Geometrie gilt: 1° bzw. 1mm Abweichung ist erlaubt, bei 2° bzw. 2mm Abweichung gibt noch Teilpunkte, alles darüber ist falsch.

Das mag streng wirken. Was macht denn so eine geringe Abweichung schon aus?

Hier mal ein Beispiel eines Quadrates.

a) Genaue Zeichnung:

b) 1° Abweichung nach innen bzw. nach außen an der Ecke rechts unten:

c) 1mm Abweichung an der Ecke rechts oben:

Mit anderen Worten: Man sieht es. Unser Auge ist dermaßen in Symmetrie geschult, dass schon geringe Abweichungen auffallen.

Praktische Bedeutung hat das beim schief an der Wand hängenden Bild. Der Winkel mag gering sein, aber es fällt auf, dass die obere Bildkante nicht parallel zum Boden liegt. Das Positive daran ist, dass man schon ziemlich gut einen rechten Winkel nach Augenmaß konstruieren kann. Das Messen auf das Grad bzw. den Millimeter genau erfordert etwas Geduld, ist aber machbar.

Zum Abschluss hier noch ein Lernvideo über die Gefahren schief hängender Bilder.

Eine Standardsituation im Mathematikunterricht der Oberstufe ist, die Lagebeziehung von zwei Geraden zu untersuchen.

Eine Vielzahl von Mathebüchern und Webseiten geht dabei nach demselben Schema vor: Man prüft zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Sind sie es, können die Geraden (echt) parallel oder identisch sein; sind sie es nicht, dann können die Geraden sich schneiden oder windschief zueinander liegen. Im zweiten Schritt überprüft man durch Gleichsetzen der Geradengleichungen, ob es Schnittpunkte gibt. So trifft man eindeutig eine Entscheidung zwischen (echt) parallel [kein Schnittpunkt] und identisch [mind. ein Schnittpunkt] bzw. zwischen schneidend [selbsterklärend] oder windschief [kein Schnittpunkt]. Der entsprechende Entscheidungsbaum ist zweistufig, mit jeweils zwei Pfaden in jeder Stufe. Um die Lagebeziehung zu prüfen, sind in jedem Fall zwei Arbeitsschritte erforderlich: Die Vielfachheit prüfen und die Anzahl der Schnittpunkte prüfen.

Was passiert, wenn man den Entscheidungsbaum umdreht, wenn man also zuerst die Anzahl der Schnittpunkte ermittelt?

Gibt es genau eine Lösung des Gleichungssystems, kann man sofort die Rechnung beenden, denn dann schneiden sich die Geraden bereits in genau einem Punkt. Auch wenn das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, ist man schon fertig, denn dann schneiden sich die Geraden unendlich oft, sie sind also identisch. In dem Fall, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, ist die Prüfung jedoch noch nicht beendet, denn die beiden Geraden könnten (echt) parallel oder windschief verlaufen. Hier kommt die andere Stufe ins Spiel, das Überprüfen der Vielfachheit der beiden Richtungsvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, dann sind die Geraden (echt) parallel; sind sie keine Vielfachen voneinander, dann sind die Geraden windschief zueinander.

In der umgekehrten Reihenfolge hat man sich in zwei von vier Fällen einen Rechenschritt gespart. Sicherlich gibt es gute Gründe, den ersten Weg zu nehmen, weil der Rechenweg immer gleich abläuft, wohingegen im zweiten Rechenweg schnell der zweite Schritt vergessen werden kann. Dennoch kann gerade der zweite Rechenweg einem viel Zeit und Schreibarbeit ersparen.